Wiskunde
De vergelijking van Laplace oplossen op een schijf: het Dirichlet-probleem
Door Bjorn · · 2 min leestijd
Waarom zou u zich druk maken over het oplossen van de vergelijking van Laplace? op een schijf? De vergelijking van Laplace is op zichzelf al belangrijk - het is bijvoorbeeld belangrijk in elektrostatica - en het begrijpen van de vergelijking van Laplace is een opstap naar het begrijpen van vele andere PDE's. Waarom specifiek om een schijf geven? Een voor de hand liggende reden is dat je misschien de vergelijking van Laplace op een schijf moet oplossen! Maar er zijn twee minder voor de hand liggende redenen. Ten eerste kan een schijf conform worden afgebeeld op elke eenvoudig verbonden juiste open subset van het complexe vlak. En omdat conforme equivalentie transitief is, zijn twee regio's conform equivalent aan de schijf conform equivalent aan elkaar. Zoals ik hier al schreef, kun je bijvoorbeeld een Mickey Mouse-silhouet in kaart brengen van en naar het Batman-logo conforme kaarten gebruiken. In de praktijk zou je Mickey Mouse waarschijnlijk op een schijf plaatsen en die kaart samenstellen met een kaart van de schijf naar Batman. De schijf is een standaardregio en daarom zijn er catalogi van conforme kaarten tussen de schijf en andere regio's. En er zijn algoritmen voor het berekenen van kaarten tussen een standaardregio, zoals de schijf of het halfvlak, en meer algemene regio's. U kunt mogelijk een toewijzing van de schijf naar Mickey opzoeken, maar waarschijnlijk niet naar Batman. Kortom, de schijf is een soort van de
middelpunt
in een hub-and-spoke-netwerk van gecatalogiseerde kaarten en algoritmen. Ten tweede heeft de vergelijking van Laplace een
analytische oplossing
op de schijf. U kunt de oplossing gewoon opschrijven, en we zullen het binnenkort doen. Als het gemakkelijk zou zijn om de oplossing op een driehoek te schrijven, zou dat de hub kunnen zijn, maar in plaats daarvan is het een schijf. Veronderstellen
u
is een continue functie met reële waarde op de grens van de eenheidsschijf. Dan
u
kan worden uitgebreid tot een harmonische functie, dwz een oplossing voor de vergelijking van Laplace aan de binnenkant van de schijf, via de Poisson-integraalformule: Of in termen van poolcoördinaten: